Question

14．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則橢圓在其上一點(diǎn)A（x₀，y₀）處的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}=1$，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$和橢圓${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=λ$（λ＞1，λ為常數(shù)）．

（1）如圖（1），點(diǎn)B為C₁在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求△OCD面積的最小值；
（2）如圖（2），過(guò)橢圓C₂上任意一點(diǎn)P作C₁的兩條切線PM和PN，切點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（x₂，y₂），根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出C，D的坐標(biāo)，利用基本不等式得出面積的最小值；
（2）根據(jù)橢圓性質(zhì)，得出PM，PN的方程，從而得出MN的方程，結(jié)合P在C₂上得出O到MN的距離，于是可得定圓方程．

解答 解：（1）設(shè)B（x₂，y₂），則橢圓C₁在點(diǎn)B處的切線方程為$\frac{x_2}{2}x+{y_2}y=1$
令$x=0，{y_D}=\frac{1}{y_2}$，令$y=0，{x_C}=\frac{2}{x_2}$，所以${S_{△OCD}}=\frac{1}{{{x_2}{y_2}}}$
又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以${x_2}＞0，{y_2}＞0，\frac{x_2^2}{2}+y_2^2=1$
∴$1=\frac{x_2^2}{2}+y_2^2≥2\sqrt{\frac{x_2^2}{2}y_2^2}=\sqrt{2}{x_2}{y_2}$
∴${S_{△OCD}}=\frac{1}{{{x_2}{y_2}}}≥\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x_2^2}{2}=y_2^2$$?{x_2}=\sqrt{2}{y_2}=1$
所以當(dāng)$B（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$時(shí)，三角形OCD的面積的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）設(shè)P（m，n），則橢圓C₁在點(diǎn)M（x₃，y₃）處的切線為：$\frac{{x}_{3}}{2}$x+y₃y=1，
又PM過(guò)點(diǎn)P（m，n），所以$\frac{x_3}{2}m+{y_3}n=1$，同理點(diǎn)N（x₄，y₄）也滿足$\frac{x_4}{2}m+{y_4}n=1$．
所以M，N都在直線$\frac{x}{2}m+yn=1$上，即直線MN的方程為$\frac{x}{2}m+yn=1$，
又P（m，n）在C₂上，∴$\frac{m^2}{4}+{n^2}=λ$，
故原點(diǎn)O到直線MN的距離為：$d=\frac{1}{{\sqrt{\frac{m^2}{4}+{n^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{λ}}}$，
所以直線MN始終與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{λ}$相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．