Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-1+$\frac{1}{lnx}$
（I）求f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜l時(shí)，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，確定切線斜率、切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜l時(shí)，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，可以轉(zhuǎn)化為k-1≥$\frac{1}{xlnx}$．求出右邊的最大值，即可求k的取值范圍．

解答 解：（I）∵f（x）=x-1+$\frac{1}{lnx}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{xl{n}^{2}x}$，
∴f′（e）=1-$\frac{1}{e}$，
∵f（e）=e，
∴f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y-e=（1-$\frac{1}{e}$）（x-e），即y=（1-$\frac{1}{e}$）x+1；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜l時(shí)，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，可以轉(zhuǎn)化為k-1≥$\frac{1}{xlnx}$．
令g（x）=xlnx，則g′（x）=lnx+1，
$\frac{1}{e}$＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）的最小值為-$\frac{1}{\;}$，
由0＜x＜1，g（x）＜0，可得$\frac{1}{xlnx}$的最大值為-e，
∴k-1≥-e，
∴k≥1-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．