Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[a+1，a+2]上的最大值為3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由判別式大于或等于零，求得a的范圍．
（2）函數(shù)f（x）的圖象對(duì)稱軸方程為x=2，再分對(duì)稱軸在區(qū)間中間值的左側(cè)、右側(cè)兩種情況，分別求得函數(shù)的最大值，再根據(jù)函數(shù)的最大值為3，求得a的值．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R在（-∞，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得△=16-4（a+3）≥0，
求得a≤1．
（2）由于函數(shù)f（x）的圖象對(duì)稱軸方程為x=2，當(dāng)2≤

a+1+a+2

2

，
即a≥

1

2

時(shí)，f（x）在[a+1，a+2]上的最大值為f（a+2）=a²+a-1=3，求得a=

-1+ 17

2

．
當(dāng)2＞

a+1+a+2

2

，即 a＜

1

2

時(shí)，f（x）在[a+1，a+2]上的最大值為f（a）=a²-3a+3=3，求得a=0．
綜上，a=

-1+ 17

2

，或a=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．