Question

將一張2×6米的矩形鋼板按圖示劃線，要求①至⑦全為矩形，且左右對(duì)稱、上下對(duì)稱，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個(gè)以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱．設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x取何值時(shí)，水箱容積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出水箱底的寬，長(zhǎng)，即可表示出水箱的容積．
（2）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，利用單調(diào)性，求解最大值即可．

解答： 解：（1）依題意，水箱底的寬為（2-2x）米，長(zhǎng)為

6-2x

2

=（3-x）米，
則水箱的容積y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1），
（2）y=（2-2x）（3-x）•x=2x³-8x²+6x（0＜x＜1），
∴y′=6x²-16x+6．
令y′=6x²-16x+6=0得x=

4- 7

3

，
當(dāng)0＜x＜

4- 7

3

時(shí)y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)

4- 7

3

＜x＜1時(shí)y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=

4- 7

3

時(shí)，函數(shù)y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1）取最大值．
∴當(dāng)x=

4- 7

3

時(shí)，水箱的容積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．