Question

已知a＞0，命題p：函數(shù)y=a^x為減函數(shù)．命題q：當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

＞

1

a

恒成立，如果p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：由a＞0，命題p：函數(shù)y=a^x為減函數(shù)．可得0＜a＜1．命題q：當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

＞

1

a

恒成立，可得

1

a

＜(x+

1

x

)min，利用基本不等式即可得出a＞

1

2

．
由p或q為真命題，p且q為假命題，可得p，q中必然一個(gè)真命題一個(gè)為假命題．解出即可．

解答： 解：由a＞0，命題p：函數(shù)y=a^x為減函數(shù)．∴0＜a＜1．
命題q：當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

＞

1

a

恒成立，∴

1

a

＜(x+

1

x

)min，
∵x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
∴

1

a

＜2，又a＞0，∴a＞

1

2

．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，∴p，q中必然一個(gè)真命題一個(gè)為假命題．
①當(dāng)p真q假時(shí)，

0＜a＜1 0＜a≤ 1 2

，解得0＜a≤

1

2

，a的取值范圍是(0，

1

2

]．
②當(dāng)q真p假時(shí)，

a≥1 a＞ 1 2

，解得a≥1，a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、不等式組的解法、“或”“且”“非”命題的真假的判斷等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．