Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且d≠0，a₁=1，從該數(shù)列中依次抽出無窮項(xiàng)構(gòu)成對等比數(shù)列{b_n}，已知b₁=a₁，b₂=a₃，b₄=a₂₇．
（1）求a_n，b_n；
（2）設(shè)c_n=

(6an-3)bn

an+1an

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，求S_n＞2014的最小自然數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得b₂=a₃=1+2d=q，b₄=a₂₇=1+26d=q³，由此解方程組能求出a_n=n，b_n=3^n-1．
（2）由c_n=

(6an-3)bn

an+1an

=

(2n-1)•3n

n(n+1)

=

3n+1

n+1

-

3n

n

，得Sn=(

32

2

-

3

1

)+(

33

3

-

32

2

)+(

34

4

-

33

3

)+…+（

3n+1

n+1

-

3n

n

）=

3n+1

n+1

-3，設(shè)f（n）=

3n+1

n+1

，由此能求出S_n＞2014的最小自然數(shù)n為8．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且d≠0，a₁=1，
從該數(shù)列中依次抽出無窮項(xiàng)構(gòu)成對比數(shù)列{b_n}，
b₁=a₁，b₂=a₃，b₄=a₂₇，
∴b₁=a₁=1，
b₂=a₃=1+2d=q，b₄=a₂₇=1+26d=q³，
解得d=1或d=-

5

2

（舍）或d=0（舍），
∴q=3，
∴a_n=n，b_n=3^n-1．
（2）∵c_n=

(6an-3)bn

an+1an

=

(2n-1)•3n

n(n+1)

=

3n+1

n+1

-

3n

n

，
∴Sn=(

32

2

-

3

1

)+(

33

3

-

32

2

)+(

34

4

-

33

3

)+…+（

3n+1

n+1

-

3n

n

）
=

3n+1

n+1

-3，
設(shè)f（n）=

3n+1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

3(n+1)

n+2

＞1，∴f（n+1）＞f（n），
又f（8）=

39

9

=2187＞2014，f（7）=

38

8

=820.125＜2014，
∴S_n＞2014的最小自然數(shù)n為8．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的最小自然數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．