Question

已知函數(shù)f（x）=

a|x|-1

|x|

．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上值域是[m，n]（m≠n），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明，先在給定的區(qū)間任取兩變量，界定其大小，然后作差變形看符號．
（2）將f（x）＜2x為a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，只要再求得h（x）最小值即可．
（3）函數(shù)的定義域：x＞0或x＜0．當(dāng)x＞0時，f（x）=a-

1

x

單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，f（x）=a+

1

x

單調(diào)遞減．當(dāng)x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，這個式子等價于方程二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=a-

1

x

，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
故有f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）由題意a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=2x+

1

x

，則a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可證h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范圍為（-∞，3]．
（3）函數(shù)的定義域：x＞0或x＜0．
當(dāng)x＞0時，f（x）=a-

1

x

單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，f（x）=a+

1

x

單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，
這個式子等價于方程
x=a-

1

x

有兩個不等實根，即二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，
當(dāng)x＜0時，f（m）=n且f（n）=m，即a+

1

m

=n，且a+

1

n

=m，且m＜n＜0，
a=n-

1

m

=m-

1

n

．
根據(jù)以上情況，有：
①對稱軸

a

2

，判別式△=a²-4＞0，且x=0時等式左邊=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+

1

mn

-2，
a-a=（n-m）-（

1

m

）=（n-m）-

n-m

mn

=（n-m）（1-

1

mn

）=0，
因為n-m≠0，所以1-

1

mn

=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
綜上所述，a的取值范圍是{a|a＞2或a=0}．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及用單調(diào)性求最值問題，考查實數(shù)的取值范圍的求法，屬于難題．