Question

3．命題：若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
判斷此命題的真假，若為真命題，請做出證明；若為假命題，請說明理由．

Answer 1

分析 先求出雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{3}^{\;}}-{y}^{2}=1$，設點P（x₀，y₀），則${{y}_{0}}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$，（x₀$≥\sqrt{3}$），由此能證明$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

解答 解：此命題為真命題．
證明如下：
∵F（-2，0）是已知雙曲線的左焦點，∴a²+1=4，解得a²=3，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{3}^{\;}}-{y}^{2}=1$，
設點P（x₀，y₀），則有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-{{y}_{0}}^{2}$=1，（${x}_{0}≥\sqrt{3}$），
解得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$，（x₀$≥\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{FP}$=（x₀+2，y₀），$\overrightarrow{OP}$=（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=${x}_{0}（{x}_{0}+2）+{{y}_{0}}^{2}$=x₀（x₀+2）+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{3}+2{x}_{0}-1$，
這個二次函數(shù)的對稱軸為${x}_{0}=-\frac{3}{4}$，
∵${x}_{0}≥\sqrt{3}$，∴當${x}_{0}=\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$取得最小值$\frac{4}{3}×3+2\sqrt{3}-1$=3+2$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題考查命題真假的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運用．