Question

【題目】一個(gè)圓內(nèi)有6000個(gè)點(diǎn)，其中任三點(diǎn)都不共線；①能否把這個(gè)圓分成2000塊，使每塊恰含有三個(gè)點(diǎn)，如何分？②若每塊中三點(diǎn)滿足：兩兩間的距離皆為整數(shù)且不超過(guò)9，則以每塊中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，這些三角形中大小完全一樣的三角形至少有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】22

【解析】

①圓內(nèi)6000個(gè)點(diǎn)可確定條直線.因是個(gè)有限的數(shù)，所以一定存在著圓的一條切線，使它不平行于條直線中的任何一條，記這條切線為，將在圓上作平行移動(dòng)，顯然6000個(gè)點(diǎn)將被逐個(gè)越過(guò)（如同時(shí)越過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，則連結(jié)此兩點(diǎn)的直線必與平行，這與取法不合），于是，在越過(guò)3個(gè)點(diǎn)且未遇上第四個(gè)點(diǎn)時(shí)作圓的一條弦，同理，當(dāng)越過(guò)第4，5，6點(diǎn)時(shí)作弦，如此可作出1999條弦，將圓分成2000塊，每塊都含三個(gè)點(diǎn)，每這樣的三點(diǎn)連成一個(gè)三角形，共得到2000個(gè)三角形.

②可以求得：邊長(zhǎng)均為整數(shù)，最長(zhǎng)邊不超過(guò)9的三角形的個(gè)數(shù)為95，設(shè)三邊長(zhǎng)為，均為整數(shù).

當(dāng)，且時(shí)，有

的取值	可取之值	三角形個(gè)數(shù)
5	5	1
6	4，5，6	3
7	3，4，5，6，7	5
8	2，3，4，5，…，8	7
9	2，3，4，5，…，9	9

即當(dāng)時(shí)，可得不同的三角形25個(gè).

當(dāng)，且時(shí)，有

5	4，5	2
6	3，4，5，6	4
7	2，3，4，5，6，7	6
8	1，2，3，4，…，8	8

即當(dāng)時(shí)，可得不同的三角形20個(gè)，同理可得，當(dāng)，6，5，4，3，2，1時(shí)，不同的三角形的個(gè)數(shù)分別是16，12，9，6，4，2，1個(gè).

故邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊不超過(guò)9的大小不同的三角形總數(shù)是

個(gè).

2000個(gè)三角形中大小完全一樣的三角形至少應(yīng)有個(gè).