【題目】

如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；

（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，

設正方形的邊長為，，求出相應點的坐標，利用，可以求出之間的關系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關系，求出二面角的正弦值.

證明（1）因為是長方體，所以側面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，

，

因為，所以，

所以，，

設是平面的法向量，

所以，

設是平面的法向量，

所以，

二面角的余弦值的絕對值為，

所以二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，左焦點為，點為橢圓上任一點，若直線與的斜率之積為，且橢圓經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若交直線于兩點，過左焦點作以為直徑的圓的切線.問切線長是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

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【題目】已知橢圓： 過點，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）， 是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于， 兩點， 交橢圓于另一個點，求面積取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調(diào)劑供應，此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元。

（Ⅰ）若該商場周初購進20臺空調(diào)器，求當周的利潤（單位：元）關于當周需求量n（單位：臺，）的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺），整理得下表：

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進20臺空調(diào)器，X表示當周的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測試指標劃分：指標大于或等于100為優(yōu)品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩臺機床生產(chǎn)的零件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：

測試指標

[85，90）

[90，95）

[95，100）

[100，105）

[105，110）

甲機床

8

12

40

32

8

乙機床

7

18

40

29

6

（1）試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率；

（2）甲機床生產(chǎn)1件零件，若是優(yōu)品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元，假設甲機床某天生產(chǎn)50件零件，請估計甲機床該天的利潤（單位：元）；

（3）從甲、乙機床生產(chǎn)的零件指標在[90，95）內(nèi)的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任意抽取2件進行質(zhì)量分析，求這2件都是乙機床生產(chǎn)的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加現(xiàn)對一批該設備進行調(diào)查，得到這批設備自購入使用之日起，前五年平均每臺設備每年的維護費用大致如表：

年份年

1

2

3

4

5

維護費萬元

Ⅰ求y關于t的線性回歸方程；

Ⅱ若該設備的價格是每臺5萬元，甲認為應該使用滿五年換一次設備，而乙則認為應該使用滿十年換一次設備，你認為甲和乙誰更有道理？并說明理由．

參考公式：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（t，1）為函數(shù)y＝ax2+bx+4（a，b為常數(shù)，且a≠0）與y＝x圖象的交點．

（1）求t；

（2）若函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點，求a，b；

（3）若1≤a≤2，設當≤x≤2時，函數(shù)y＝ax2+bx+4的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點P（x0，y0）（x0≠）在橢圓C：（a＞b＞0）上，若點M為橢圓C的右頂點，且PO⊥PM （O為坐標原點），則橢圓C的離心率e的取值范圍是

A. （0，） B. （0，1） C. （，1） D. （0，）

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