Question

【題目】如圖，將數(shù)字1,2,3，…， （）全部填入一個2行列的表格中，每格填一個數(shù)字，第一行填入的數(shù)字依次為， ，…， ，第二行填入的數(shù)字依次為， ，…， ．記．

（Ⅰ）當(dāng)時，若， ， ，寫出的所有可能的取值；

（Ⅱ）給定正整數(shù)．試給出， ，…， 的一組取值，使得無論， ，…， 填寫的順序如何， 都只有一個取值，并求出此時的值；

（Ⅲ）求證：對于給定的以及滿足條件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相同.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3,5,7,9．（Ⅱ） （Ⅲ）奇偶性相同．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)題意，易知的所有可能的取值為3,5,7,9．（Ⅱ）令（， ，…， ），則無論， ，…， 填寫的順序如何，都有．∵，∴，（ ， ，…， ），∵（，2，…， ），所以．（Ⅲ）顯然，交換每一列中兩個數(shù)的位置，所得的的值不變．不妨設(shè)，記， ，其中1，2，…， ，

則，因為，所以與具有相同的奇偶性，又因為與的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同．

試題解析：

（Ⅰ）的所有可能的取值為3,5,7,9．

（Ⅱ）令（， ，…， ），則無論， ，…， 填寫的順序如何，都有．

∵，∴，（ ， ，…， ），

∵（，2，…， ），

所以．　

（Ⅲ）顯然，交換每一列中兩個數(shù)的位置，所得的的值不變．

不妨設(shè)，記， ，其中1，2，…， ，

則，

因為，

所以與具有相同的奇偶性，

又因為與的奇偶性相同，

所以的所有可能取值的奇偶性相同．