Question

10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=40，AD=40，則當(dāng)下底AB=80時(shí)，梯形ABCD的面積最大．

Answer 1

分析 設(shè)等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α，則高為40sinα，下底AB=40cosα+40+40cosα，利用三角函數(shù)的有界限求最大值．

解答 解：由題意：設(shè)等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α．（$0＜α＜\frac{π}{2}$）則高為40sinα．下底AB=40cosα+40+40cosα．
由梯形面積公式得：
$S=\frac{1}{2}•40sinα（80+80cosα）$
=1600（sinα+sinαcosα），
求導(dǎo)：S′=1600（cosα+cos²α-sin²α）
=1600（2cos²α+cosα-1）
=1600（2cosα-1）（cosα+1），
令S′=0，解得：cosα=$\frac{1}{2}$或cosα=-1，
∵（$0＜α＜\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{1}{2}$，此時(shí)α=$\frac{π}{3}$．
  顯然當(dāng)0＜cosα＜$\frac{1}{2}$時(shí)，S′＜0，即$α∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$減區(qū)間；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜cosα＜1時(shí)，S′＞0．即$α∈（0，\frac{π}{3}）$增區(qū)間．
故在∴cosα=$\frac{1}{2}$，S取得最大值，即梯形ABCD的面積最大．此時(shí)α=$\frac{π}{3}$．
∴下底AB=40cosα+40+40cosα=80cos$\frac{π}{3}$+40=80．
故答案為：80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求最值的方法，常用的方法有：觀察法，不等式法，有界限法，配方法，分離常數(shù)法，求導(dǎo)法等等．學(xué)會(huì)根據(jù)題意，尋求簡(jiǎn)單的解題方法．屬于基礎(chǔ)題．