Question

已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），點(diǎn)P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且•=0，||•||=4，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)雙曲線的方程為：-=1，利用雙曲線的定義結(jié)合題意可求得b²與a²，從而可得答案．
解答：解：設(shè)雙曲線的方程為：-=1，
∵兩焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），且•=0，
∴⊥，
∴△F₁PF₂為直角三角形，∠P為直角；
∴+===28；①
又點(diǎn)P是此雙曲線上的一點(diǎn)，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴+-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，由||•||=4得|PF₁|•|PF₂|=4，
∴+-8=4a²，②
由①②得：a²=5，又c²==7，
∴b²=c²-a²=2．
∴雙曲線的方程為：-=1，
故選C．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法與方程思想，屬于中檔題．