Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{3{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5{n}^{2}}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{n}^{2}}$=1有公共的焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）直線l過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸，若直線l與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓和雙曲線的a，b，c的關(guān)系可得m²=8n²，再由漸近線方程的求法，即可得到所求；
（2）設(shè)漸近線y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x與直線l：x=c交于A，B，求得|AB|，由三角形的面積公式可得c=1，再由a，b，c的關(guān)系和漸近線方程，解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：（1）依題意，有3m²-5n²=2m²+3n²，即m²=8n²，
可設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{n}^{2}}$=1，
故雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．
（2）設(shè)漸近線y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x與直線l：x=c交于A，B，
則|AB|=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$．
由S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得c=1，
即a²+b²=1，又$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴a²=$\frac{16}{19}$，b²=$\frac{3}{19}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{19{x}^{2}}{16}$-$\frac{19{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程和應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．