Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=3，S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），由此能證明數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知a_n=n+1．b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=3，
S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），
∴（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知a_n=n+1．b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ①
∴2T_n=2×2³+3×2³+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=2×2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．