Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1-4a_n=4ⁿ（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

4n

（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n=

a1

4

+

a2

5

+

a3

6

+…+

an

n+3

，求滿足不等式

1

257

＜

Sn

S2n

＜

1

5

的所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b_n+1-b_n=

an+1

4n+1

-

an

4n

=

1

4

，由此能證明{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為

1

4

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由b_n=

an

4n

=

1

4

n+

3

4

，得a_n=4ⁿb_n=（n+3）•4^n-1，從而得到

an

n+3

=4^n-1，由此求出S_n=

a1

4

+

a2

5

+

a3

6

+…+

an

n+3

=

4n-1

3

，進(jìn)而得到

Sn

S2n

=

4n-1

42n-1

=

1

4n+1

，由此能求出滿足不等式

1

257

＜

Sn

S2n

＜

1

5

的所有正整數(shù)n的值．

解答： （Ⅰ）證明：由b_n=

an

4n

，得bn+1=

an+1

4n+1

，
∵a₁=4，a_n+1-4a_n=4ⁿ（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=

an+1

4n+1

-

an

4n

=

1

4

，
又b1=

a1

4

=1
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為

1

4

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=

an

4n

=1+（n-1）×

1

4

=

1

4

n+

3

4

，
∴a_n=4ⁿb_n=（n+3）•4^n-1，
∴

an

n+3

=4^n-1，
∴S_n=

a1

4

+

a2

5

+

a3

6

+…+

an

n+3

=1+4+4²+…+4^n-1
=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

，
∴

Sn

S2n

=

4n-1

42n-1

=

1

4n+1

，
由

1

257

＜

Sn

S2n

＜

1

5

，得

1

257

＜

1

4n+1

＜

1

5

，
∴4＜4ⁿ＜256，解得1＜n＜4，
∴滿足不等式

1

257

＜

Sn

S2n

＜

1

5

的所有正整數(shù)n的值為2，3．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查滿足不等式的所有的正整數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．