Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=3，${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*且n≥2），則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=（2n+1）•3^n-1．

Answer 1

分析 當n∈N^*，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得；${S_n}=3{S_{n-1}}+{3^n}$，化為：$\frac{S_n}{3^n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{{{3^{n-1}}}}=1$，$\frac{S_1}{3}=1$，利用等差數(shù)列的通項公式，及其遞推關系即可得出．

解答 解：∵當n∈N^*，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴由${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}$得${S_n}-{S_{n-1}}=2{S_{n-1}}+{3^n}$，即${S_n}=3{S_{n-1}}+{3^n}$，
兩邊同時除以3ⁿ得$\frac{S_n}{3^n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{{{3^{n-1}}}}=1$，$\frac{S_1}{3}=1$，∴數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{3^n}}\right\}$是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴$\frac{S_n}{3^n}=n$．
即${S_n}=n•{3^n}$，當n∈N^*，n≥2時，${a_n}=2{S_{n-1}}+{3^n}=2•（n-1）•{3^{n-1}}+{3^n}$=（2n+1）•3^n-1，該式對n=1成立，
故${a_n}=（2n+1）•{3^{n-1}}$．
故答案為：（2n+1）•3^n-1．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．