Question

9．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，b是復數(shù)$\frac{3i-2}{i}$的實部．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx+t，當a=-1時，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出b的值，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max≥g（x）_min，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵$\frac{3i-2}{i}=3+2i，\;\;\;\;∴b=3，即f（x）=（ax+3）{e^x}$，
當a=0時，f（x）=3e^x，則f（x）在R上單增，無單減區(qū)間
當a≠0時，由f（x）=（ax+3）e^x得f′（x）=a（x+1+$\frac{3}{a}$）e^x，
如a＜0，由f′（x）＞0可得x＜-1-$\frac{3}{a}$，f′（x）＜0可得x＞-1-$\frac{3}{a}$，
∴f（x）的單增區(qū)間為（-∞，-1-$\frac{3}{a}$），單減區(qū)間為（-1-$\frac{3}{a}$，+∞），
如a＞0，由f′（x）＞0可得x＞-1-$\frac{3}{a}$，f′（x）＜0可得x＜-1-$\frac{3}{a}$，
∴f（x）的單增區(qū)間為（-1-$\frac{3}{a}$，+∞），單減區(qū)間為（-∞，-1-$\frac{3}{a}$）；
（2）當a=-1時，由（1）可知f（x）在區(qū)間（0，2）上單增，在區(qū)間（2，+∞）上單減
則f（x）_max=f（2）=e²，
由g（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx+t知g′（x）=$\frac{x-2}{2x}$，
易知g（x）在區(qū)間（0，2）上單減，在（2，+∞）上單增，
則g（x）_min=1-ln1+t，
則存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立等價于f（x）_max≥g（x）_min，
即e²≥1-ln2+t，即t∈（-∞，e²+ln2-1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，復數(shù)問題，是一道中檔題．