Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（1）證明{a_n+3}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）令b_n=

2

an+3

，c_n=b_n+1，求數(shù)列{nc_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3）．由等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）易求b_n，nc_n，利用分組求和及錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3）．∵a₁+3=4，
∴{a_n+3}是等比數(shù)列，∴a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-3．
（2）bn=

2

(2n+1-3)+3

=

1

2n

，ncn=n(

1

2n

+1)=

n

2n

+n，
Tn=(1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

)+（1+2+…+n），
令R_n=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

，
由錯(cuò)位相減法得：Rn=2-

n+2

2n

，
∴Tn=2-

n+2

2n

+

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化能力，錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．