Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=

-2x，0≤x≤ 1 2 2(x-1)， 1 2 ＜x≤1

，g（x）是定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，0]時，g（x）=

-2x-3，-2≤x＜-1 x，-1≤x≤0

，方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的實數(shù)根個數(shù)分別為a，b，則a+b等于（　�。�

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第一步：根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的奇偶性分別作出對應(yīng)的圖象；
第二步：由f（g（x））=0及f（x）的圖象，得g（x）的值，從而由g（x）的圖象得x的值，即得a，由g（f（x））=0及g（x）的圖象，得f（x）的值，從而由f（x）的圖象得x的值，即得b；
第三步：計算a+b的值．

解答： 解：由f(x)=

-2x，0≤x≤ 1 2 2(x-1)， 1 2 ＜x≤1

，作出f（x）在[0，1]內(nèi)的圖象，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，
由對稱性可作出f（x）在[-1，0）內(nèi)的圖象，如圖1所示．
由g（x）=

-2x-3，-2≤x＜-1 x，-1≤x≤0

，作出g（x）在[-2，0]內(nèi)的圖象，
∵g（x）是定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，
∴g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
由對稱性可作出g（x）在（0，2]內(nèi)的圖象，如圖2所示．
（1）由方程f（g（x））=0，知g（x）=1，或-1，或0，
當(dāng)g（x）=1時，x=2或-2；
當(dāng)g（x）=-1時，x=1或-1；
當(dāng)g（x）=0時，x=

3

2

，或0，或-

3

2

，
∴a=7．
（2）由g（f（x））=0，知f（x）=-

3

2

（無解），或

3

2

（無解），或0，
當(dāng)f（x）=0時，x=1或-1或0，∴b=3．
從而a+b=7+3=10．
故答案為D．

點評：1．本題考查了分段函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的奇偶性與圖象的關(guān)系，函數(shù)的零點等，準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．
2．對于分段函數(shù)問題，一般采用分段處理的方式解決．值得注意的是，每段中自變量x的范圍至關(guān)重要，是首先考慮的問題．