Question

已知二次函數(shù)g（x）對任意實(shí)數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，根據(jù)g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1直接可得答案．
（2）表示出函數(shù)f（x）的解析式，對m進(jìn)行大于0、小于、和等于0進(jìn)行分析可得答案．
（3）先根據(jù)H（x）的導(dǎo)數(shù)小于等于0判斷出H（x）單調(diào)遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|＜1即可．
解答：解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，所以
又g（1）=-1，則．所以．

（2）．
當(dāng)m＞0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；
當(dāng)m=0時，對?x＞0，f（x）＞0恒成立；
當(dāng)m＜0時，由，
列表：
．．
所以若?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-e，0]．
故?x＞0使f（x）≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，-e]∪（0，+∞）．

（3）因?yàn)閷?x∈[1，m]，，所以H（x）在[1，m]內(nèi)單調(diào)遞減．
于是．．
記，
則，
所以函數(shù)在（1，e]是單調(diào)增函數(shù)，
所以，故命題成立．
點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性的問題．