Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）若恒成立，則稱為的一個上界函數(shù)，當(dāng)（1）中的為函數(shù)的一個上界函數(shù)時，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，對（1）中的，討論在區(qū)間上極值點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）在上，當(dāng)時，無極值點(diǎn)；當(dāng)或者時，有1個極值點(diǎn)．；當(dāng)且時，有2個極值點(diǎn)．

【解析】

試題（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意知，解方程組可得的值．（2）問題等價于恒成立，再轉(zhuǎn)化為對恒成立．命名新函數(shù)令求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值．令其最小值大于等于0即可．（3）求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．根據(jù)單調(diào)性求其最值．討論最值與0的大小，結(jié)合函數(shù)圖像判斷零點(diǎn)個數(shù)．

試題解析：（1），由已知解得

（2）恒成立對恒成立．

令則，當(dāng)）時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，故．

（3）由（1）知

，的解為．

①當(dāng)時， 在（0，2）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)且，即且時，有2個極值點(diǎn)；

③當(dāng)或，即或者時，有1個極值點(diǎn)．

綜上知，在上，當(dāng)時，無極值點(diǎn)；當(dāng)或者時，有1個極值點(diǎn)；當(dāng)且時，有2個極值點(diǎn)．