Question

已知f（x）=

xlnx(0＜x＜1) lnx x (x≥1)

，則函數(shù)的最大值與最小值的和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)分段函數(shù)意義，分別利用導(dǎo)數(shù)求出在其定義域上的最值，問題得以解決．

解答： 解：∵f（x）=xlnx（0＜x＜1）
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=0，解得x=

1

e

，
∴x∈（

1

e

，1），f′（x）＞0，故f（x）=xlnx在（

1

e

，1）上遞增，
x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，故f（x）=xlnx在（0，

1

e

）上遞減，
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=xlnx，有最小值，最小值為f（

1

e

）=-

1

e

又f（x）=

lnx

x

，（x≥1）
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴x∈（1，e），f′（x）＞0，故f（x）=

lnx

x

在（1，e）上遞增，
x∈（e，+∞），f′（x）＜0，故f（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上遞減，
故當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）=

lnx

x

，（x≥1），有最大值，最大值為f（e）=

1

e

，
故函數(shù)的最大值與最小值的和等于-

1

e

+

1

e

=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值的問題，屬于基礎(chǔ)題．