Question

對一個邊長互不相等的凸n（n≥3）邊形的邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色．所有不同的染色方法記為P（n），則P（n）=

 

．

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用

專題：排列組合

分析：直接利用類比推理，推出凸n（n≥3）邊形的邊染色與凸n-1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)P_n-1的關系，P_n=3×2^n-1-P_n-1，然后求出染色方法數(shù)為P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，

解答： 解：設不同的染色法有P_n種．易知．
當n≥4時，首先，對于邊a₁，有3種不同的染法，由于邊a₂的顏色與邊a₁的顏色不同，
所以，對邊a₂有2種不同的染法，
類似地，對邊a₃，…，邊a_n-1均有2種染法．對于邊a_n，用與邊a_n-1不同的2種顏色染色，
但是，這樣也包括了它與邊a₁顏色相同的情況，
而邊a₁與邊a_n顏色相同的不同染色方法數(shù)就是凸n-1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)P_n-1，
于是可得P_n=3×2^n-1-P_n-1，
P_n-2ⁿ=（P_n-1-2^n-1）．
于是P_n-2ⁿ=（-1）^n-3（P₃-2³）=（-1）^n-1•（-2），
P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，n≥3．
綜上所述，不同的染色方法數(shù)為P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，．
故答案為：2ⁿ+2•（-1）ⁿ

點評：本題考查分步計數(shù)原理、分類計數(shù)原理的綜合應用，涉及幾何圖形有關的涂色問題，分析時注意結(jié)合圖形分析．