Question

10．不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0對一切實數x都成立，實數m的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 對m討論，當m=-1時，當m＞-1時，判別式△＜0，當m＜-1時，結合二次函數的圖象和性質，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：當m=-1時，不等式即為x-2＞0，解得x＞2，對一切實數x不恒成立；
當m＞-1時，判別式△＜0，即為m²-4（m+1）（m-1）＜0，解得m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，對一切實數x恒成立；
當m＜-1時，不等式對一切實數x不恒成立．
綜上可得，實數m的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查二次不等式恒成立問題，注意運用二次函數的圖象和性質，考查分類討論的思想方法和運算能力，屬于中檔題和易錯題．