Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x=1處取得極大值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若方程f（x）=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$恰好有兩個(gè)不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），根據(jù)取得極大值點(diǎn)求得a的取值范圍．
（Ⅱ）將方程f（x）=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$看作兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)f（x）的大體圖象，而函數(shù)y=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$為一條平行于x軸的直線，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)說(shuō)明a的值
（Ⅲ）依題意有：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值的差不大于m，轉(zhuǎn)換思路，求最值．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x²+2ax+b，f'（1）=0⇒b=-2a-3，…2分
∴f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0⇒x=1或$x=-\frac{2a+3}{3}$
因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)取得極大值，所以$-\frac{2a+3}{3}＞1⇒a＜-3$，
所以a的取值范圍是：（-∞，-3）；…4分
（Ⅱ）由下表：

x	x＜1	x=1	$1＜x＜-\frac{2a+3}{3}$	$x=-\frac{2a+3}{3}$	$x＞-\frac{2a+3}{3}$
f'（x）	+	0	-	0	-
f（x）	遞增	極大值-a-2	遞減	極小值$\frac{a+6}{27}{（{2a+3}）^2}$	遞增

…7分
畫出f（x）的簡(jiǎn)圖：

依題意得：$\frac{a+6}{27}{（{2a+3}）^2}=-\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$，
解得：a=-9，
所以函數(shù)f（x）的解析式是：f（x）=x³-9x²+15x；…9分
（Ⅲ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
依題意有：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值的差不大于m，…10分
在區(qū)間[-2，2]上有：f（-2）=-8-36-30=-74f（1）=7，
f（2）=8-36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，
f（x）的最小值是f（-2）=-8-36-30=-74，…13分
所以m≥81即m的最小值是81．…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，利用函數(shù)得極值畫函數(shù)圖象的能力，屬于中檔題，高考經(jīng)常涉及．