Question

13．已知平面$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow$|=1．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，求向量$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ），cosθ＞0.$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$.$t\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=$（\sqrt{3}t-cosθ，-t-sinθ）$，由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，可得：${t}^{2}+tsin（θ-\frac{π}{3}）$≥0，于是$si{n}^{2}（θ-\frac{π}{3}）$≤0，解出即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ），cosθ＞0.$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
$t\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=$（\sqrt{3}t-cosθ，-t-sinθ）$，
由|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，
∴$（\sqrt{3}t-cosθ）^{2}+（t+sinθ）^{2}$≥1，
化為：${t}^{2}+tsin（θ-\frac{π}{3}）$≥0，
∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)t上式成立，
∴△=$si{n}^{2}（θ-\frac{π}{3}）$≤0，
∴$sin（θ-\frac{π}{3}）$=0，
∴$θ-\frac{π}{3}$=0，
解得$θ=\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．