Question

【題目】一只蒼蠅和只蜘蛛被放置在方格表的一些交點(diǎn)處.一次操作包括以下步驟：首先，蒼蠅移動(dòng)到相鄰的交點(diǎn)處或者原地不動(dòng)，然后，每只蜘蛛移動(dòng)到相鄰交點(diǎn)處或者原地不動(dòng)（同一交點(diǎn)可以同時(shí)停留多只蜘蛛）.假設(shè)每只蜘蛛和蒼蠅總是知道其他蜘蛛和蒼蠅的位置.

（1）找出最小的正整數(shù)，使得在有限次操作內(nèi)，蜘蛛能夠抓住蒼蠅，且與其初始位置無關(guān)；

（2）在的空間三維方格中，（1）中的結(jié)論又是怎樣？

（注）題中相鄰是指一個(gè)交點(diǎn)僅有一個(gè)坐標(biāo)與另一個(gè)交點(diǎn)的同一坐標(biāo)不同，且差值為1；題中抓住是指蜘蛛和蒼蠅位于同一交點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）2 （2）見解析

【解析】

（1）首先證明，一只蜘蛛無法捉到蒼蠅.

建立直角坐標(biāo)系，則蜘蛛、蒼蠅活動(dòng)的范圍是.

對(duì)于上述集合中的每個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)集合中的點(diǎn)和它相鄰.因此，若某次蜘蛛行動(dòng)之后與蒼蠅不相鄰，則蒼蠅不動(dòng)即可；若某次蜘蛛行動(dòng)后與蒼蠅相鄰，則它只需進(jìn)入與其所在點(diǎn)相鄰的另一個(gè)上述集合中的點(diǎn).這樣蜘蛛捉不到蒼蠅.

其次，若有兩只蜘蛛、，記與蒼蠅在次移動(dòng)后的距離為，其中，定義兩點(diǎn)與的距離為.

首先，可以通過若干次操作使得.

接下來證明：

（�。┟看我苿�(dòng)后，可適當(dāng)移動(dòng)、，使得處于以、為對(duì)角線的矩形內(nèi)部或邊界上（、的連線不平行于坐標(biāo)軸）；

（ⅱ）保持不增，且若干次后必嚴(yán)格減少.

事實(shí)上，記、軸正方向的單位向量為、.則策略如下：

若某次蒼蠅移動(dòng)后某坐標(biāo)值不在以、為對(duì)角線的矩形內(nèi)部或者邊界上，則、同時(shí)沿該方向朝所在的方格移動(dòng)；否則，只要移動(dòng)或，只要移動(dòng)或，適當(dāng)選擇使、的連線不平行于坐標(biāo)軸，且保持蒼蠅的位置位于上述矩形的內(nèi)部或邊界上.由歸納法易證（�。�.

下面證明（ⅱ）.

事實(shí)上，若在次操作前嚴(yán)格位于以、為對(duì)角線的矩形內(nèi)，則該輪次后，必減；否則，必在矩形的某邊上且它必須向矩形外移動(dòng)，由規(guī)則知此時(shí)不增，但方格表有界，因此，至多在4024步以后不能再向矩形外移動(dòng).此時(shí)，嚴(yán)格減少.

因?yàn)?/span>的初始值為4024，不能無限下降，所以，經(jīng)過有限步操作后蜘蛛能夠抓到蒼蠅.

（2）結(jié)論不變，的最小值仍為2.

建立空間直角坐標(biāo)系，則、的范圍是.

當(dāng)時(shí)，令、通過若干次操作分別到與，且每次操作保持在以、為體對(duì)角線的立方體內(nèi)部或邊界（面、棱、頂點(diǎn)）上，且、的連線不平行于平面、、.完全類似可證：每次操作后不增，且至多經(jīng)過步后，必定嚴(yán)格減少.

而初始的，故經(jīng)過有限步也必定結(jié)束操作，蜘蛛抓住蒼蠅.