Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：x²ⁿ-y²ⁿ能被x+y整除（n是正整數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式分解，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答： 證：①當(dāng)n=1時(shí)，x²ⁿ-y²ⁿ=（x-y）（x+y）能被x+y整除，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x^2k-y^2k能被x-y整除
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
x^2k+2-y^2k+2=x²x^2k-y²y^2k-1
=x²x^2k-x²y^2k+x²y^2k-y²y^2k
=x²（x^2k-y^2k）+（x²-y²）y^2k
∴x^2（k+1）-y^2（k+1）也能被x-y整除
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，x²ⁿ-y²ⁿ能被x-y整除．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．