已知拋物線y=ax2(a>0)上兩個動點A、B(不在原點),滿足
OA
⊥OB
,若存在定點M,使得
OM
OA
OB
且λ+μ=1,則M坐標為
 
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:由已知得A,B,M三點共線,于是問題轉(zhuǎn)化為動直線過定點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1=ax12y2=ax22,由此利用點差法求出直線AB過定點(0,
1
a
),M點坐標是(0,
1
a
).
解答: 解:由
OM
OA
OB
,且λ+μ=1,
OM
OA
+(1-λ)
OB

BM
BA
,
∴A,B,M三點共線,于是問題轉(zhuǎn)化為動直線過定點,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1=ax12,y2=ax22,
兩式相減,得y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2),
kAB=
y1-y2
x1-x2
=a(x1+x2)
,
∴直線AB方程為y-y1=a(x1+x2)(x-x1),
即y=a(x1+x2)(x-x1)+y1=a(x1+x2)x-ax12-ax1x2+ax12=a(x1+x2)x-ax1x2,①
OA
OB
,∴x1x2+y1y2=0,
x1x2+ax12x22=0,∴a2x1x2=-1,②
把②代入①,得y=a(x1+x2)x+
1
a
,
∴直線AB過定點(0,
1
a
),M點坐標是(0,
1
a
).
故答案為:(0,
1
a
).
點評:本題考查滿足條件的點的坐標的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習冊系列答案
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隨機抽取某中學甲乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖,如圖.
(1)求甲乙兩班的中位數(shù)并根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
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xlnx
x+1
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如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=1,AA1=
2
,求AB1與側(cè)面AC1所成的角.

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如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=
3
,BC=1,PA=2,E為PD的中點,則直線BE與平面ABCD所成角的正切值為
 

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A、16
3
B、8
3
C、4
3
D、
8
3
3

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已知拋物線關(guān)于y軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經(jīng)過點M(
3
,-2
3
),求它的標準方程.

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已知函數(shù)f(x)=(x2+mx+5)ex,x∈R,
(I)當m=5時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)沒有極值點,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

化簡:(a2b)
1
2
•(ab2-2÷(a-2b)-3

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