Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+mx+5）e^x，x∈R，
（I）當(dāng)m=5時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求導(dǎo)f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，代入m=5，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，且e^x＞0，g（x）=x²+（2+m）x+5+m的二次項(xiàng)系數(shù)大于0；從而得g（x）=x²+（2+m）x+5+m≥0對x∈R恒成立，從而解得．

解答： 解：（I）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x
=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，
當(dāng)m=5時，
f′（x）=e^x•（x+5）（x+2）；
故當(dāng)x∈（-∞，-5），（-2，+∞）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（-5，-2）時，f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-5），（-2，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-5，-2）；
（Ⅱ）∵f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+5）e^x
=[x²+（2+m）x+5+m]e^x，
且e^x＞0，g（x）=x²+（2+m）x+5+m的二次項(xiàng)系數(shù)大于0；
若函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，則
g（x）=x²+（2+m）x+5+m≥0對x∈R恒成立，
∴△=（2+m）²-4（m+5）=m²-16≤0，
解得，-4≤m≤4；
故m的取值范圍為[-4，4]．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．