Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），其中常數(shù)ω＞0；
（1）若y=f（x）在[0，1]內(nèi)至少存在10個(gè)最大值，求ω的最小值；
（2）令ω=1，將函數(shù)y=f（x）的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g（x）=-1在區(qū)間[m，n]（m，n∈R且m＜n）內(nèi)至少有20個(gè)解，在所有滿足上述條件的[m，n]中，求n-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$\frac{π}{3ω}$+9T₁≤1，由T₁=$\frac{2π}{ω}$，代入即可求得ω的最小值；
（2）由題意可知求得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），則sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，解得：x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$   k∈Z，則（n-m）_min=min{$\frac{3π}{4}$+9T₂-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$+10T₂-$\frac{3π}{4}$}=min{9T₂+$\frac{π}{3}$，10T₂-$\frac{π}{3}$}=min{$\frac{28π}{3}$，$\frac{29π}{3}$}=$\frac{28π}{3}$，即可求得n-m的最小值．

解答 解：（1）由題意：$\frac{π}{3ω}$+9T₁≤1，即$\frac{π}{3ω}$+9•$\frac{2π}{ω}$≤1，T₁函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的最小正周期，T₁=$\frac{2π}{ω}$，
則ω≥$\frac{π}{3}$+18π=$\frac{55π}{3}$
∴ω的最小值為$\frac{55π}{3}$；…（6分）
（2）由題意：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），將函數(shù)y=f（x）的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由g（x）=-1得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$   k∈Z 
則x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$   k∈Z
∴（n-m）_min=min{$\frac{3π}{4}$+9T₂-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$+10T₂-$\frac{3π}{4}$}=min{9T₂+$\frac{π}{3}$，10T₂-$\frac{π}{3}$}=min{$\frac{28π}{3}$，$\frac{29π}{3}$}=$\frac{28π}{3}$，T₂函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期，T₂=π
∴n-m的最小值為$\frac{28π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦的性質(zhì)，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的周期性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．