Question

8．A_n（n∈N）系列的紙張規(guī)格如圖，其特色在于：
①A₀，A₁，A₂，…，A_n所有規(guī)格的紙張的長(zhǎng)寬比都相同；
②A₀對(duì)裁后可以得到兩張A₁，A₁對(duì)裁后可以得到兩張A₂，…，A_n-1對(duì)裁后可以得到兩張A_n．
現(xiàn)有每平方厘米重量為b克的A₀，A₁，A₂，…，A_n紙各一張，若A₄紙的寬度為a厘米，則這（n+1）張紙的重量之和S_n+1等于$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．（單位：克）

Answer 1

分析 由題意可得面積是逐漸變?yōu)樯弦粋�(gè)的一半，由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，由此能求出這（n+1）張紙的重量之和S_n+1．

解答 解：由題意可得面積是逐漸變?yōu)樯弦粋�(gè)的一半，設(shè)A_n的長(zhǎng)、寬分別為x，y，則A_n+1的長(zhǎng)、寬分別為y，$\frac{1}{2}$x，
由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，
故A₄的面積為$\sqrt{2}$a²，A₁的面積為8$\sqrt{2}$a²，A₀的面積為16$\sqrt{2}{a}^{2}$，
所以S_n+1=$\frac{8\sqrt{2}{a}^{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}•b$+16$\sqrt{2}{a}^{2}b$
=16$\sqrt{2}$a²b（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．
故答案為：$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和，歸納推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．