Question

7．已知a＞0，b＞0，直線(xiàn)3x-4y=0是雙曲線(xiàn)S：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線(xiàn)，雙曲線(xiàn)S的離心率為e，則$\frac{3e+{a}^{2}}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{7\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{11\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 由題意，$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，代入可得$\frac{3e+{a}^{2}}$=$\frac{5+{a}^{2}}{\frac{4}{3}a}$=$\frac{3}{4}×（\frac{5}{a}+a）$，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
所以$\frac{3e+{a}^{2}}$=$\frac{5+{a}^{2}}{\frac{4}{3}a}$=$\frac{3}{4}×（\frac{5}{a}+a）$≥$\frac{3}{4}×2\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
所以$\frac{3e+{a}^{2}}$的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．