Question

7．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b²=ac，a+c=$\sqrt{21}$，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{5}{4}$．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）通過cosB求出sinB，利用正弦定理得到sin²B=sinAsinC．通過切化弦，兩角和的正弦函數(shù)化簡，可得sinB，利用sinB即可求cosB；
（2）利用余弦定理，結(jié)合條件求出ac，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）∵b²=ac，
∴根據(jù)正弦定理可得sin²B=sinAsinC．
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$；
（2）b²=ac=a²+c²-2ac×$\frac{3}{5}$，
∴a²+c²=$\frac{11}{5}$ac，
∵a+c=$\sqrt{21}$，
∴ac=5
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．

點評 本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與正弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積的計算，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．