分析 (Ⅰ)由橢圓的定義可得a=2,再由離心率公式和a,b,c的關(guān)系,即可得到b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)依題意,求得橢圓C2方程,討論直線的斜率不存在,得到|PA|=|PB|和面積為定值;當(dāng)切線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為:y=kx+m,代入橢圓C2方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得|PA|=|PB|,由弦長公式,和點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合面積公式,計(jì)算即可得到面積為定值.
解答 解:(Ⅰ)依題意,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,
由橢圓的定義可得2a=4,即a=2,
即有c=1,b2=a2-c2=3,
則橢圓C方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
(Ⅱ)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=3;
①若切線l垂直于x軸,則其方程為:x=±2,解得y=±$\sqrt{6}$,
顯然|PA|=|PB|,|AB|=2$\sqrt{6}$,△OAB面積為$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$;
②若切線l不垂直于x軸,可設(shè)其方程為:y=kx+m.
將y=kx+m代入橢圓C方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)=0,
即m2=4k2+3,
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1,y1),(x2,y2),
將y=kx+m代入橢圓C2的方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
此時(shí)x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$,
則AB的中點(diǎn)為(-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$,$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$),即為(-$\frac{4k}{m}$,$\frac{3}{m}$),
代入橢圓C的方程,可得$\frac{16{k}^{2}}{4{m}^{2}}$+$\frac{9}{3{m}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+3}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1,
滿足橢圓方程,則|PA|=|PB|成立;
即有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{(3+4{k}^{2})^{2}}-\frac{16{m}^{2}-144}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3(12{k}^{2}+9-{m}^{2})}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{6}}{|m|}$.
又點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
可得S△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2$\sqrt{6}$,
綜上,當(dāng)切線l變化時(shí),△OAB的面積為定值2$\sqrt{6}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,聯(lián)立直線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長公式,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
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A. | 有最小值6 | B. | 有最大值6 | C. | 有最大值9 | D. | 有最小值3 |
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A. | (-4,2) | B. | (-∞,-4)∪(2,+∞) | C. | (2,+∞) | D. | (-∞,-4) |
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