Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的右頂點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，其離心率.過作兩條相互垂直的直線與，且交拋物線于，兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求的值；

（2）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得橢圓的值，再由離心率可得的值，再由之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；由題意可得直線的斜率不為，設(shè)直線的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之積，進(jìn)而求出數(shù)量積 的值；

(2)由(1)可得弦長(zhǎng)表達(dá)式，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由題意可得直線為軸，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，求出三角形的面積，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由面積公式可得面積的表達(dá)式，換元，求導(dǎo)，由函數(shù)的單調(diào)性求出三角形面積的最小值．

(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，由題意可得橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為即， 又離心率，可得，所以，

所以橢圓的方程為：，

由交拋物線于兩點(diǎn)可得直線的斜率不為，

設(shè)的方程為：，設(shè)，

直線與拋物線聯(lián)立，整理可得，

所以，

所以；

(2)由(1)知

，

當(dāng)時(shí)， ，由題意可得，所以；

當(dāng)，設(shè)直線的方程為： ，代入橢圓的方程可得，

可得，

所以， 令，則，

令，

令，可得，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

所以，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

綜上所述面積的最小值為．