【題目】已知函數(shù).

（1）若，，求的最大值；

（2）當時，討論極值點的個數(shù).

【答案】（1）（2）時，極值點的個數(shù)為0個；時，極值點的個數(shù)為2個

【解析】

（1）利用導數(shù)求出單調(diào)性，從而求得的最大值；

（2）先求導數(shù)，，導數(shù)的符號由分子確定，先分和討論，時，易得，當時，將看成關于的二次函數(shù)，由確定的符號，從而判斷極值點的個數(shù).

（1）當，時，，

此時，函數(shù)定義域為，，

由得：；由得：，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以.

（2）當時，函數(shù)定義域為，

，

①當時，對任意的恒成立，

在上單調(diào)遞減，所以此時極值點的個數(shù)為0個；

②當時，設，

（i）當，即時，

對任意的恒成立，即在上單調(diào)遞減，

所以此時極值點的個數(shù)為0個；

（ii）當，即時，記方程的兩根分別為，，

則，，所以，都大于0，

即在上有2個左右異號的零點，

所以此時極值點的個數(shù)為2.

綜上所述時，極值點的個數(shù)為0個；

時，極值點的個數(shù)為2個.

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