Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0； ②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=

1

2014

•sin

(2n-1)π

2

（n=1，2，…2014），試判斷數(shù)列{a_n}是否為2014階“期待數(shù)列”，并說明理由；
（2）若等比數(shù)列{b_n}為2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”，求公比q及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若一個等差數(shù)列{c_n}既是2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．

Answer 1

分析：（1）寫出數(shù)列的通項，根據(jù)“期待數(shù)列”的定義，即可判斷；
（2）分類討論，求出公比與首項，即可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）根據(jù)一個等差數(shù)列{c_n}既是2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求出數(shù)列的首項與公差，即可求該數(shù)列的通項公式．

解答：解：（1）∵a_n=

1

2014

•sin

(2n-1)π

2

=

- 1 2014 ，n為偶數(shù) 1 2014 ，n為奇數(shù)

，----------------------------（2分）
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）=

1

2014

×1007-

1

2014

×1007=0，
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₄|=

1

2014

×2014=1，
∴數(shù)列{a_n}為2014階“期待數(shù)列”---------------------------------（4分）
（2）①若q=1，由①得，b₁•2k=0，得b₁=0，矛盾．-----------（5分）
若q≠1，則由①b₁+b₂+b₃+…+b_2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，-------------（7分）
由②得b₁=

1

2k

或b₁=-

1

2k

．
∴q=-1，數(shù)列{b_n}的通項公式是b_n=

1

2k

•(-1)n-1（n=1，2，…，2k）或b_n=-

1

2k

•(-1)n-1（n=1，2，…，2k）（9分）
（3）設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列{c_n}的公差為d，d＞0．
∵c₁+c₂+c₃+…+c_2k=0，∴

2k•(c1+c2k)

2

=0，∴c₁+c_2k=c_k+c_k+1=0，
∵d＞0，由c_k+c_k+1=0得c_k＜，c_k+1＞0，--------------------------（11分）
由①、②得c₁+c₂+c₃+…+c_k=-

1

2

，c_k+1+c_k+2+c_k+3+…+c_2k=

1

2

，-----------（13分）
兩式相減得，k²d=1，∴d=

1

k2

，
又c1k+

k(k-1)

2

d=-

1

2

，得c₁=-

2k-1

2k2

，
∴數(shù)列{c_n}的通項公式是c_n=c1+(n-1)d=

-2k-1+2n

2n2

．-（16分）

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查數(shù)列的求和與通項，考查學(xué)生的計算能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．