Question

設(shè)P是直線l：y=2x且在第一象限上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q（2，2），則直線PQ與直線l及x軸在第一象限圍成的三角形面積最小值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)利用圖形之間的關(guān)系表示出所求的三角形的面積是解決本題的關(guān)鍵．通過建立的函數(shù)類型選擇合適的方法求出面積的最小值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，2x₀）是直線l：y=2x且在第一象限上的一點(diǎn)，則x₀＞0，則直線PQ的方程為y-2=

2x0-2

x0-2

（x-2），
令y=0，得出直線PQ與x軸在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)（

x0

x0-1

，0），
進(jìn)一步確定出x₀＞1，因此所求的三角形的面積為S=

1

2

•

x0

x0-1

•2x0=

x 2 0

x0-1

=

x 2 0 -2x0+1+2x0-2+1

x0-1

=(x0-1)+

1

x0-1

+2≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x0-1=

1

x0-1

，
即x₀=2（另一根不合題意，舍去）時(shí)取到等號(hào)，即所求的面積最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與直線問題的小綜合題，首先要建立起三角形面積與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的類型進(jìn)行適當(dāng)變形利用基本不等式求解所求的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．