Question

已知平面向量

a

=（cosφ，sinφ），b=（cosx，sinx），其中0＜φ＜π，且函數(shù)f（x）=（

a

•

b

）cosx+sin（φ-x）sinx的圖象過點（

π

6

，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移

π

6

，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）代入向量數(shù)量積的坐標運算，利用和差公式化簡，代入點（

π

6

，1），根據(jù)φ的范圍求出φ的值；（Ⅱ）先根據(jù)圖象平移求出g（x）的解析式，然后結合余弦函數(shù)的單調性求單調區(qū)間．

解答： 解：f（x）=（cosφcosx+sinφsinx）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-2x）
把點（

π

6

，1）代入得，cos（φ-2×

π

6

）=1
解得：φ=2kπ+

π

3

，
又∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移

π

6

，得到函數(shù)y=cos[2（x-

π

6

）-

π

3

]=cos（2x-

2π

3

）的圖象．
∴g（x）=cos（2x-

2π

3

），
由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)y=g（x）遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積、三角變換與三角函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是利用公式化簡，圖象平移時左加右減，在自變量x上加上或減去一個常數(shù)．