Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，若2T_n＜λ對n∈N^*恒成立，求整數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）聯(lián)立方程組解得首項及公差即得通項公式；
（Ⅱ）利用裂項相消法求得T_n，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，由已知得

4a1+6d=14 (a1+2d)=a1(a1+6d)

，
解得d=1或d=0（舍去），∴a₁=2，a_n=n+1；
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵2T_n＜λ對n∈N^*恒成立，即

n

n+2

＜λ對n∈N^*恒成立，
又

n

n+2

=1-

n

n+2

＜1，
∴整數(shù)λ的最小值為1．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項法求數(shù)列和知識，考查數(shù)列的基本運算能力，注意恒成立問題成立的條件，屬中檔題．