Question

9．已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a^n-1（n∈N^*），則S=1+a+a²+…+aⁿ=$\left\{\begin{array}{l}n+1，（a=1）\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，（a≠1）\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 當a=1時，S=1+$\underset{\underbrace{1+1+…+1}}{n個}$=n+1．當a≠1時，S=1+a+a²+…+aⁿ，由此利用等比數(shù)列性質能求出結果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a^n-1（n∈N^*），
∴a≠0，
∴當a=1時，
S=1+a+a²+…+aⁿ=1+$\underset{\underbrace{1+1+…+1}}{n個}$=n+1．
當a≠1時，
S=1+a+a²+…+aⁿ=1+$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$=$\frac{1-{a}^{n+1}}{1-a}$，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}n+1，（a=1）\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，（a≠1）\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}n+1，（a=1）\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，（a≠1）\end{array}\right.$．

點評 本題考查等比數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，注意等比數(shù)列性質的合理運用．