已知數(shù)列{cn}滿足cn=(1+
1
n
)n(n∈N*)，試證明：
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，有cn＞2；
（2）cn＜3．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合
專題：綜合題,二項(xiàng)式定理
分析：（1）根據(jù)cn=（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•（
1
n
）2+…+Cnn•（
1
n
）n，只用前兩項(xiàng)即可證明不等式即可；
（2）通過組合數(shù)的性質(zhì)對cn=（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•（
1
n
）2+…+Cnn•（
1
n
）n進(jìn)行放縮即可證明．
解答： 證明：（1）∵cn=（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•（
1
n
）2+…+Cnn•（
1
n
）n＞Cn0+Cn1•
1
n
=2；
（2）∵cn=（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•（
1
n
）2+…+Cnn•（
1
n
）n
=2+
n(n-1)
2!
•
1
n2
+…+
n(n-1)…•2•1
n!
••（
1
n
）n
＜2+
1
2!
+…+
1
n!

＜2+
1
1×2
+…+
1
(n-1)n

=2+（1-
1
2
）+…+（
1
n-1
-
1
n
）
=3-
1
n
＜3．
點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中等難度題型，
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=
4an-2
3an-1
(n∈N*)，設(shè)bn=
3an-2
an-1
．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅲ）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn≤
(n+2)•2n-1-1
2n-1
（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分如圖所示．
（Ⅰ）試確定函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平移
1
4
個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x-1）2，數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，且（an+1，S2n-1）在函數(shù)f（x）的圖象上，數(shù)列{bn}滿足：bn=（
3
4
）n-1．
（1）求an．
（2）若數(shù)列{Cn}滿足：Cn=
an
4n-1bn
，令：Tn=C1+C2+…+Cn，求使Tn＜λ（n∈N+）成立的λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求
1
x
+
4
y
的最小值；
（Ⅱ）設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y=3
x(2-x)
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個盒子中裝有大小完全相同且分別標(biāo)有字母a，b的2個黃球和分別標(biāo)有字母c，d的2個紅球．
（Ⅰ）如果每次任取1個球，取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩個球中恰有一個是黃球的概率；
（Ⅱ）如果每次任取1個球，取出后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩個球中至多有一個是黃球的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

三角形ABC，點(diǎn)A（1，2），B（-1，3），C（3，-3）
（1）求三角形ABC的面積S；
（2）求邊AC上的高所在直線l的方程（化為斜截式）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{
n
an
}的前n項(xiàng)和Sn為
 
．

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同步練習(xí)冊答案