Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＜0時，f（x）＜0，f（1）=5．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值法，令令x=y=0，求得f（0）=0，令y=-x得f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出值域．

解答： 解：（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，所以f（x₁-x₂）＜0，
則f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
由f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=10得，f（-2）=-10，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=10+5=15
所以函數(shù)f（x）區(qū)間[-2，3]上的值域為[-10，15]．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法式常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．