Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，且

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：{

1

an

-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

n

an

-n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，又

1

a1

-1=

1

2

，由此能證明數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由

n

an

-n=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

n

an

-n}的前n項(xiàng)和．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，且

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

（n∈N^*），
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，又

1

a1

-1=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

1

an

-1=(

1

2

)n，
∴

n

an

-n=

n

2n

，
設(shè)數(shù)列{

n

an

-n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

，
∴Sn=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．