Question

6．已知符號函數(shù)sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a＞1），則（　�。�

• A． sgn[g（x）]=sgnx
• B． sgn[g（x）]=-sgnx
• C． sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
• D． sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

Answer 1

分析 直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù)f（x），以及a的值，判斷選項即可．

解答 解：由于本題是選擇題，可以采用特殊法，符號函數(shù)sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
則g（x）=f（x）-f（ax）=-x，
sgn[g（x）]=-sgnx．所以A不正確，B正確，
sgn[f（x）]=sgnx，C不正確；D正確；
對于D，令f（x）=x+1，a=2，
則g（x）=f（x）-f（ax）=-x，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}1，&x＞-1\\ 0，&x=-1\\-1，&x＜-1\end{array}\right.$；
sgn[g（x）]=sgn（-x）=$\left\{\begin{array}{l}1，&x＞0\\ 0，&x=0\\-1，&x＜0\end{array}\right.$，
-sgn[f（x）]=-sgn（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}-1，&x＞-1\\ 0，&x=-1\\ 1，&x＜-1\end{array}\right.$；所以D不正確；
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)表達(dá)式的比較，選取特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．