Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（ t為參數(shù)），l與C相交于A，B兩點，則|AB|=$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 化極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后求得交點坐標(biāo)，由兩點間的距離公式得答案．

解答 解：由ρ（sinθ-3cosθ）=0，得y-3x=0，
由C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（ t為參數(shù)），兩式平方作差得：x²-y²=-4．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=-4}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{1}{2}$，即$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故答案為：$2\sqrt{5}$．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)的計算題．