Question

【題目】如圖，已知橢圓，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（0，m）的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，交橢圓C于A，P（其中P在第一象限，N在橢圓內(nèi)），且M是線(xiàn)段PN的中點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B，記直線(xiàn)PM，QM的斜率分別為k1，k2．

（1）當(dāng)時(shí)，求k2的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)AB斜率的最小值．

Answer 1

【答案】（1）k2＝1（2）最小值為1．

【解析】

（1）設(shè)P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），計(jì)算得到，得到答案.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)PA的方程為y＝kx+m，（k＞0），聯(lián)立方程計(jì)算得到，代入數(shù)據(jù)利用均值不等式計(jì)算得到答案.

（1）設(shè)P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．

所以直線(xiàn)PM的斜率；直線(xiàn)QM的斜率；

此時(shí)．當(dāng)時(shí)k2＝1；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

直線(xiàn)PA的方程為y＝kx+m，（k＞0）

由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0

，即；

所以；

直線(xiàn)QB的方程為y＝﹣3kx+m．

同理有：，，

2，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；

故直線(xiàn)AB 的斜率的最小值為1．