Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；．
（Ⅱ）若PD與平面ABCD所成角的余弦值是

2 5

5

，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（Ⅰ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，由已知條件推導(dǎo)出滿足AG=

1

4

AP的點(diǎn)G為所求．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，由已知條件推導(dǎo)出∠PDA是PD與平面ABCD所成的角．利用向量法能求出二面角A-PD-F的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，
則EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，
則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點(diǎn)G為所求．（6分）
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA是PD與平面ABCD所成的角．
又∵PD與平面ABCD所成角的余弦值是

2 5

5

，
即cos∠PDA=

AD

PD

=

2

PD

=

2 5

5

，解得PD=

5

，
∴PA=

5-4

=1，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
設(shè)平面PFD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

PF

=(1，1，-1)，

DF

=（1，-1，0），
∴

n • PF =x+y-z=0 n • DF =x-y=0

，
令z=1，得

n

=（

1

2

，

1

2

，1）．
又∵AB⊥平面PAD，∴

AB

=（1，0，0）是平面PAD的法向量，
∴cos＜

AB

，

n

＞=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

．
由圖知，所求二面角A-PD-F的余弦值為

6

6

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的確定，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．